I. Pengertian Integral
II. Integral
I. Bentuk Pangkat
Bentuk pangkat atau biasa disebut perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan.
Contoh :
Bentuk pangkat mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :
II. Bentuk Akar
Akar dari suatu bilangan merupakan kebalikan dari perpangkatan.
Contoh :
Namun, terdapat bilangan yang hasil akarnya bukan berupa bilangan bulat seperti
III. Logaritma
Logaritma merupakan anti perpangkatan.
Sebagai contoh
Dapat dituliskan sebagai berikut :
Logaritma mempunyai sifat-sifat, yaitu :
I. Barisan Aritmatika
II. Deret Aritmatika
III. Barisan Geometri
IV. Deret Geometri
V. Deret Tak Hingga
I. Pengertian matriks
II. Unsur-unsur matriks
III. Jenis Matriks
IV. Kesamaan Matriks
V. Tranpose Matriks
VI. Penjumlahan Matriks
VII. Pengurangan Matriks
VIII. Perkalian Matriks
IX. Determinan Matriks
X. Invers Matriks
I. Pengertian statistika
II. Data
III. Rataan ( Mean )
IV. Nilai tengah ( Median )
V. Modus
VI. Kuartil
VII. Simpangan rata-rata
VIII. Simpangan baku
Hai, Warga Belajar Paket C !
Kali ini kita akan belajar tentang peluang.
Cakupan materi yang berkaitan dengan peluang adalah sbb :
1. Kaidah Pencacahan
2. Faktorial
3. Permutasi
4. Kombinasi
5. Peluang
Semoga tulisan ini bermanfaat.
Mari kita mulai ya!!
=================
I. Kaidah Pencacahan
=================
Apa sih Kaidah Pencacahan?
Kaidah Pencacahan adalah cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu.
Nah, coba kamu perhatikan kalimat berikut !
Jika himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka AxB adalah pasangan berurutan (a,b) dengan aϵA dan bϵB. Banyaknya anggota AxB adalah sebanyak n x m anggota.
Ngerti gak apa maksudnya?
Oke, saya kasih contohnya nih.
contohnya:
1. Andi mempunyai 3 buah kaos (merah, hitam, biru) dan 2 buah celana ( hitam, cokelat). Ada berapa cara yang dapat Andi lakukan untuk memasangkan kaos dan celana yang dimilikinya?
solusinya :
Kita dapat menuliskannya dalam bentuk tabel sebagai berikut :
Dalam himpunan pasangan berurutan dapat ditulis sebagai berikut : {(merah, hitam),(hitam, hitam),(biru, hitam),(merah, cokelat),(hitam, cokelat),(biru, cokelat)}.
Jadi, ada 6 cara yang dapat andi lakukan untuk memasangkan kaos dan celana yang dimilikinya.
Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan, kita dapat memperoleh hasil jawaban yang lebih praktis, yaitu dengan mengalikan banyaknya kaos dengan banyaknya celana : 3 x 2 = 6 cara.
2. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 tanpa ada angka yang berulang ?
solusinya :
Angka yang tersedia adalah sebanyak 5 angka.
Tempat ratusan bisa diisi oleh 5 angka.
Tempat puluhan bisa diisi oleh 4 angka.
Tempat satuan bisa diisi oleh 3 angka.
Dapat disajikan dalam tabel berikut ini :
Berdasarkan konsep kaidah pencacahan, maka banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dapat disusun adalah 5 x 4 x 3 = 60 bilangan.
Semoga bisa dimengerti ya. :)
Nah, sekarang kita belajar faktorial.
Apa sih faktorial itu?solusinya :
Angka yang tersedia adalah sebanyak 5 angka.
Tempat ratusan bisa diisi oleh 5 angka.
Tempat puluhan bisa diisi oleh 4 angka.
Tempat satuan bisa diisi oleh 3 angka.
Dapat disajikan dalam tabel berikut ini :
Berdasarkan konsep kaidah pencacahan, maka banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dapat disusun adalah 5 x 4 x 3 = 60 bilangan.
Semoga bisa dimengerti ya. :)
Nah, sekarang kita belajar faktorial.
==========
II. Faktorial
==========
adalah perkalian berurutan bilangan asli dari 1 sampai dengan n.
Bentuk faktorial dapat disajikan sebagai berikut :
atau dapat pula dituliskan seperti ini :
contohnya :
2! = 1 x 2 = 2 atau 2! = 2 x 1 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6 atau 3! = 3 x 2 x 1 = 6
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 atau 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Paham?
Sekarang ada pertanyaan nih.
Berapakah nilai dari 0! ?
Ada yang tahu?
Perhatikan bentuk berikut !
Apabila kita ambil n = 1, maka
Paham ya?
Materi selanjutnya adalah Permutasi.
Apa itu permutasi?
===========
III. Permutasi
===========
adalah susunan berbeda (tanpa pengulangan) yang dapat dibentuk dari n objek yang disediakan untuk mengisi r objek yang diperlukan.
Berdasarkan konsep kaidah pencacahan, pengisian tempatnya adalah sebagai berikut :
Maka, Permutasi r objek dari n objek yang tersedia adalah sbb :
Dapat disimpulkan bahwa rumus permutasi adalah sbb :
Nah, supaya lebih paham lagi kita lihat contohnya yuk!
Contoh persoalan yang berkaitan dengan permutasi :
Dari 5 siswa akan dipilih akan dipilih 3 orang menjadi calon pengurus OSIS yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyaknya kemungkinan susunan pengurus yang dapat dibentuk?
solusinya :
Jadi, ada 60 susunan pengurus yang mungkin terbentuk.
Lalu kita akan belajar tentang Kombinasi.
Apa sih kombinasi?
============
IV. Kombinasi
============
adalah himpunan bagian yang mempunyai r anggota dari suatu himpunan dengan n anggota.
Misalkan :
Himpunan A : { a, b, c }
Berapa banyaknya himpunan bagian A yang mempunyai 2 anggota?
Maka, kita dapat membuat kemungkinan himpunannya seperti ini :
{a,b}, {a,c}, {b,c}, {b,a}, {c,a}, {c,b}
Akan tetapi, terdapat tiap-tiap himpunan mempunyai kembarannya sbb:
{a,b}={b,a}
{a,c}={c,a}
{b,c}={c,b}
Perhatikan hal berikut!
{a,b}, {a,c}, {b,c}, {b,a}, {c,a}, {c,b} sebenarnya merupakan permutasi 2 objek yang diambil dari 3 objek yaitu 3P2.
Namun, himpunan yang identik hanya dituliskan sekali, seperti berikut ini :
{a,b}, {a,c}, {b,d}.
Maka, banyaknya himpunan bagian A yang mempunyai 2 anggota ada 3 buah.
Bila dilihat dengan seksama, banyaknya himpunan bagian A yang mempunyai 2 anggota adalah 1/2 kali dari permutasinya.
Banyaknya pengulangan yang terjadi dapat disimbolkan dengan 2! = 2.1 =2
Bagimana jika kita hitung himpunan bagian A yang mempunyai 3 anggota ? Ada berapa?
Jika kita permutasi hasilnya sbb :
{a,b,c}, {a,c,b},{b,a,c},{b,c,a},{c,a,b},{c,b,a}.
Terlihat bahwa terjadi 6 buah himpunan yang identik.
Banyaknya himpunan yang identik dapat ditulis sebagai 3!=3x2x1=6
Maka,
Banyaknya himpunan bagian A yang mempunyai 3 anggota adalah
Hal ini berlaku untuk umum dalam mencari banyaknya himpunan bagian yang ditetapkan jumlah anggotanya.
Maka,
Banyaknya himpunan bagian yang mempunyai r anggota dari suatu himpunan dengan n anggota dapat dirumuskan sebagai berikut:
Rumus diatas kita sebut Rumus Kombinasi.
Biar ngerti kita lihat contohnya yuk!
Contoh persoalan yang berkaitan dengan Kombinasi :
Dari 6 siswa akan dipilih akan dipilih 2 orang untuk ikut dalam lomba Cerdas Cermat. Berapa banyaknya kemungkinan susunan pasangan yang akan ikut perlombaan tersebut?
Jadi, ada 15 susunan yang mungkin terbentuk.
Catatan penting :
Untuk soal yang ada jabatannya ( misal : ketua, wakil, sekretaris, dll) gunakan permutasi.
Untuk soal yang tidak ada jabatannya, gunakan kombinasi.
Diingat ya!!
Sekarang kita masuk ke materi Peluang nih.
Hayo siapa yang tahu apa itu peluang?
=========
V. Peluang
=========
adalah perbandingan antara banyaknya kejadian yang diinginkan dengan banyaknya kejadian yang mungkin.
Bingung ya?
Kasihan deh ... hehe..
Oke, mari kita bahas ya!
Peluang yang akan kita bahas adalah sbb :
1. Pelemparan 1 buah koin.
Apabila 1 buah koin dilempar sekali, maka kemungkinan sisi koin yang akan mucul ada 2 yaitu sisi angka atau sisi gambar. Seperti yang diperlihatkan pada tabel berikut.
Keterangan : A=sisi angka , B=sisi gambar
Berapa peluang munculnya sisi angka?
Berapa peluang munculnya sisi gambar?
P( muncul sisi angka) = 1/2
P(muncul sisi gambar)=1/2
2. Pelemparan 2 buah koin.
Apabila 2 buah koin dilemparkan bersamaan sebanyak sekali, maka kemungkinan kejadian yang muncul adalah sebagai berikut :
Ada 4 kemungkinan kejadian yang akan muncul, yaitu {(Angka, Angka), (Angka, Gambar), (Gambar, Angka), (Gambar, Gambar)}.
P(muncul satu angka) = 2/4 = 1/2
P(muncul satu gambar) = 2/4 = 1/2
P(muncul keduanya angka) = 1/4
P(muncul keduanya gambar) = 1/4
P(muncul paling sedikit satu angka) = 3/4
P(muncul paling sedikit satu gambar) = 3/4
P(muncul paling banyak satu angka) = 3/4
P(muncul paling banyak satu gambar) = 3/4
3. Pelemparan 3 buah koin.
Apabila 3 buah koin dilemparkan bersamaan sebanyak sekali, maka kemungkinan kejadian yang muncul adalah sebagai berikut :
Ada berapa kemungkinan kejadian yang muncul?
Ada 8.
P(muncul satu angka) = 3/8
P(muncul satu gambar) = 3/8
P(muncul dua angka) = 3/8
P(muncul dua gambar) = 3/8
P(muncul paling sedikit satu angka) = 7/8
P(muncul paling sedikit satu gambar) = 7/8
P(muncul paling banyak satu angka) = 4/8 = 1/2
P(muncul paling banyak satu gambar) = 4/8 = 1/2
4. Pelemparan 1 buah dadu.
Apabila 1 buah dadu dilemparkan sebanyak sekali, maka kemungkinan kejadian yang muncul adalah sebagai berikut :
P(muncul mata dadu genap) = 3/6 = 1/2
P(muncul mata dadu ganjil) = 3/6 = 1/2
P(muncul mata dadu prima) = 3/6 = 1/2
P(muncul mata dadu kurang dari 5) = 4/6 = 2/3
P(muncul mata dadu lebih dari 4) = 2/6 = 1/3
P(muncul mata dadu prima genap) = 1/6
P(muncul mata dadu faktor dari 6) = 4/6 = 2/3
P(muncul mata dadu 7) = 0/6 = 0
5. Pelemparan 2 buah dadu.
Apabila 2 buah dadu dilemparkan sebanyak sekali, maka kemungkinan kejadian yang muncul adalah sebagai berikut :
Ada berapa kemungkinan kejadian yang muncul?
Ada 36.
P(muncul mata dadu berjumlah 5) = 4/36 = 1/9
P(muncul mata dadu berjumlah kurang dari 5) = 6/36 = 1/6
P(muncul mata dadu berjumlah lebih dari 5) = 26/36 = 13/18
P(muncul mata dadu berjumlah genap) = 18/36 = 1/2
P(muncul mata dadu berjumlah ganjil) = 18/36 = 1/2
P(muncul mata dadu berjumlah prima) = 15/36
P(muncul keduanya mata dadu genap) = 9/36 = 1/4
P(muncul keduanya mata dadu ganjil) = 9/36 = 1/4
P(muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7) = 10/36 = 5/18
6. Pelemparan 1 koin dan 1 dadu.
Ada 12 kemungkinan kejadian yang terjadi.
P(muncul angka dan mata dadu genap) = 3/12 = 1/4
P(muncul gambar dan mata dadu prima) = 3/12 = 1/4
P(muncul angka dan mata dadu faktor dari 6) = 4/12 = 1/3
P(muncul gambar dan mata dadu kelipatan 2) = 3/12 = 1/4
P(muncul gambar dan mata dadu kurang dari 6 ) = 5/12
7. Penggunaan kombinasi pada peluang.
Dalam sebuah keranjang terdapat 3 bola berwarna merah dan 2 bola berwarna biru. Diambil 2 bola sekaligus secara acak.
Bagaimana cara menjabarkan kemungkinan bola yang terambil?
misalkan,
3 bola warna merah : M1, M2, M3
2 bola warna biru : B1, B2
Diambil 2 bola sekaligus.
Kemungkinannya adalah sbb :
1. M1, M2
2. M1, M3
3. M1, B1
4. M1, B2
5. M2, M3
6. M2, B1
7. M2, B2
8. M3, B1
9. M3, B2
10. B1, B2
Ada 10 kemungkinan.
Hal ini sesuai dengan konsep kombinasi, yaitu kombinasi 2 objek yang diambil dari 5 objek.
Berapa peluang bola yang terambil keduanya merah?
Jika kita perhatikan lagi :
1. M1, M2 (keduanya merah)
2. M1, M3 (keduanya merah)
3. M1, B1
4. M1, B2
5. M2, M3 (keduanya merah)
6. M2, B1
7. M2, B2
8. M3, B1
9. M3, B2
10. B1, B2
P( terambil keduanya merah ) = 3/10.
Dapat pula dengan menggunakan kombinasi untuk mengetahui banyaknya kemungkinan kejadian terambilnya kedua bola berwarna merah, yaitu sebagai berikut :
Banyaknya bola merah : 3
Bola yang diambil : 2
Banyaknya kemungkinan kejadian terambilnya kedua bola berwarna merah yaitu :
Cara menghitung peluangnya adalah sbb :
Berapa peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru?
Jika kita perhatikan lagi :
1. M1, M2
2. M1, M3
3. M1, B1 (1 merah dan 1 biru)
4. M1, B2 (1 merah dan 1 biru)
5. M2, M3
6. M2, B1 (1 merah dan 1 biru)
7. M2, B2 (1 merah dan 1 biru)
8. M3, B1 (1 merah dan 1 biru)
9. M3, B2 (1 merah dan 1 biru)
10. B1, B2
P( terambil 1 merah dan 1 biru ) = 6/10 = 3/5.
Jika menggunakan cara kombinasi adalah sbb :
Banyaknya kejadian terambilnya 1 merah dan 1 biru :
Kemungkinan terambilnya 1 bola merah diambil dari 3 bola merah = 3C1
Kemungkinan terambilnya 1 bola biru diambil dari 2 bola biru = 2C1
Maka, sesuai dengan kaidah pencacahan banyaknya kemungkinan terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru adalah :
Maka, P(terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru) =
Contoh soal :
Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola berwarna putih dan 6 bola berwarna hitam. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak. Berapa peluang terambilnya 2 bola putih dan 1 bola hitam?
solusinya :
" SEMOGA BERMANFAAT "
Langganan:
Postingan (Atom)
